Relação binária

Na matemática e na lógica, uma relação binária ou 2-ária é uma relação entre dois elementos, sendo um conjunto de pares ordenados. As relações binárias são comuns em muitas áreas da matemática para definir conceitos como por exemplos: "é múltiplo" e "maior que" da aritmética; "é congruente" da geometria; e outros.

Uma relação binária r sobre dois universos A e B é:

Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre os conjuntos A e conjunto B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A x A pode ser chamado simplesmente de relação binária em A.
Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados onde cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Isto é, para cada par (a,b), a ∈ A e b ∈ B. Então exatamente uma das seguintes afirmativas é verdadeira:

• (a,b) ∈ R: dizemos que “a é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.
• (a,b) ∈ R: dizemos que “a não é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.

O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos. No caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um subconjunto de B.
Exemplos:

• Sejam A = {1, 2, 3} e B = { x, y, z} , e seja R = {(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma relação de A para B, uma vez que R é um subconjunto de A x B. Com respeito a esta relação, 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz. O domínio de R é {1.3} e a imagem é {y.z}.

• Seja A um conjunto qualquer. Uma relação importante em A é a relação de igualdade, {(a,a); a ∈ A}, que é usualmente denotada por =. Essa relação é também chamada de identidade ou relação diagonal em A e será também denotado por δ.

Outra definição

Uma relação binária R também pode ser definida como um trio ordenado (A, B, G) onde A e B são conjuntos arbitrários, e G é um subconjunto do produto cartesiano A×B. Os conjuntos A e B são chamados de domínio e codomínio da relação, respectivamente, e G é chamado de grafo.
A Relação final corresponde a visualizar R como uma Função indicadora do conjunto de pares G. A ordem de cada par de G é importante: se a ? b, então aRb pode ser verdadeiro ou falso independentemente de bRa o ser.

Exemplos

• Numa relação P definida por:

ou seja, P = {(2,0), (1, 1), (0, 2)}, P(0,2) é verdadeiro, já P(-1,3) é falso;

• As relações de igualdade e diferença: a = a e b ? c;

• Suponha que existam 4 objetos: {carro, bola, boneca, bala} e quatro pessoas {João, Maria, Marcos, Pedro}.

Suponha que João tem a bola, Maria tem a boneca, e Pedro tem o carro. Ninguém tem a bala e Marcos não tem nada.

Então a relação binária R "pertence a" é dada como R = ({bola, carro, boneca, bala}, {João, Maria, Marcos, Pedro}, {(bola, João), (boneca, Maria), (carro, Pedro)}).

Tipos de relações binárias

Dada uma relação R ⊆ A×B, podemos classificá-la como:

• Relação total

Ou seja, todo elemento de A se relaciona com algum de B.

• Relação sobrejetora

É o inverso da total, todo elemento de B é relacionado com algum de A.

• Relação funcional

Ou seja, um elemento de A não pode se relacionar com mais de um elemento de B.

• Relação injetora:

O contrário da funcional: um elemento de B não pode ser relacionado com dois ou mais elementos de A diferentes.
Uma relação é dita um monomorfismo se ela é total e injetora. Uma relação é dita um epimorfismo se ela é funcional e sobrejetora. Uma relação é dita um isomorfismo se ela é um monomorfismo e um epimorfismo.

Operações em relações binárias

Relações inversas

Seja R uma relação qualquer A×B. A inversa de R, denotada por R⁻¹, é a relação de B×A consiste nos pares ordenados que, quando têm sua ordem revertida, pertencem a R, isto é,

Por exemplo, a inversa da relação R = {(1, y), (1, z), (3, y)} é a seguinte: R⁻¹ = {(y, 1), (z, 1), (y, 3)}.
Claramente, (R⁻¹)⁻¹ = R. Além disso o domínio e a imagem de R⁻¹ são, respectivamente, iguais à imagem e ao domínio de R. Ademais, se R é uma relação em A, então R⁻¹ também é uma relação em A.

Composição de relações

Relacionar elementos de A com elementos de B é destacar um subconjunto de AxB. Dadas R₁ ⊆ A×B e R₂ ⊆ B×C:
A composição das relações R₁ com R₂, denotado por R₂ ⋅ R₁, é a relação
{(a,c): (∃b ∈B), com (a,b) ∈ R₁ e (b,c) ∈ R₂} ⊆ A×C
Exemplo: Sejam os conjuntos
A = {a, b, c}; B = {c, d, e} e C = {a, e}; e as relações R₁ = {(a,c), (a,e), (b,c), (c,d)} e R₂ = {(c,a), (d,a), (d,e), (e,e)}.
Então R₂ ⋅ R₁ = {(a,a), (a,e), (b,a), (c,a). (c,e)}.

Composição de Relações e Matrizes

Existe uma outra maneira de determinar R ⋅ S. Sejam M_r e M_s, respectivamente, as matrizes da relação R e S. Então,

        

Multiplicando-se M_r e M_s, obtemos a matriz

Os elementos não nulos dessa matriz nos mostram quais elementos estão relacionados por R×S. Portanto, M = M_r M_s e M_r⋅s têm os mesmos elementos não nulos.
Teorema: Sejam A, B, C e D conjuntos. Suponha que R é uma relação A×B, S é uma relação de B×C e T é uma relação de C×D. Então, (R ⋅ S) ⋅ T = R ⋅ (S ⋅ T). Ou seja, a composição de relações é associativa.
Prova: Para demonstrar o teorema é necessário mostrar que cada par ordenado em (R ⋅ S) ⋅ T pertence a R ⋅ (S ⋅ T) e vice-versa. Então:

Suponha que (a,d) pertence a (R ⋅ S) ⋅ T. 
Então, existe um c em C tal que (a,c) ∈ (R ⋅ S) e (c,d) ∈ T. 
Como (a,c) ∈ (R ⋅ S), existe b em B tal que (a,b) ∈ R e (b,c) ∈ S. 
Como (b,c) ∈ S e (c,d) ∈ T, temos (b,d) ∈ (S ⋅ T); 
como (a,b) ∈ R e (b,d) e S ⋅ T, temos (a,b) ∈ R ⋅ (S ⋅ T). 
Portanto, (R ⋅ S) ⋅ T ⊆ R ⋅ (S ⋅ T). 
De modo similar, R ⋅ (S ⋅ T)⊆ (R ⋅ S) ⋅ T. 
Ambas as inclusões provam que (R ⋅ S) ⋅ T = R ⋅ (S ⋅ T).