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Relação binária

Na matemática e na lógica, uma relação binária ou 2-ária é uma relação entre dois elementos, sendo um conjunto de pares ordenados. As relações binárias são comuns em muitas áreas da matemática para definir conceitos como por exemplos: "é múltiplo" e "maior que" da aritmética; "é congruente" da geometria; e outros.

Uma relação binária r sobre dois universos A e B é:

Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre os conjuntos A e conjunto B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A x A pode ser chamado simplesmente de relação binária em A.
Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados onde cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Isto é, para cada par (a,b), a ∈ A e b ∈ B. Então exatamente uma das seguintes afirmativas é verdadeira:

• (a,b) ∈ R: dizemos que “a é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.
• (a,b) ∈ R: dizemos que “a não é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.

O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos. No caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um subconjunto de B.
Exemplos:

• Sejam A = {1, 2, 3} e B = { x, y, z} , e seja R = {(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma relação de A para B, uma vez que R é um subconjunto de A x B. Com respeito a esta relação, 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz. O domínio de R é {1.3} e a imagem é {y.z}.

• Seja A um conjunto qualquer. Uma relação importante em A é a relação de igualdade, {(a,a); a ∈ A}, que é usualmente denotada por =. Essa relação é também chamada de identidade ou relação diagonal em A e será também denotado por δ.

Outra definição

Uma relação binária R também pode ser definida como um trio ordenado (A, B, G) onde A e B são conjuntos arbitrários, e G é um subconjunto do produto cartesiano A×B. Os conjuntos A e B são chamados de domínio e codomínio da relação, respectivamente, e G é chamado de grafo.
A Relação final corresponde a visualizar R como uma Função indicadora do conjunto de pares G. A ordem de cada par de G é importante: se a ? b, então aRb pode ser verdadeiro ou falso independentemente de bRa o ser.

Exemplos

• Numa relação P definida por:

ou seja, P = {(2,0), (1, 1), (0, 2)}, P(0,2) é verdadeiro, já P(-1,3) é falso;

• As relações de igualdade e diferença: a = a e b ? c;

• Suponha que existam 4 objetos: {carro, bola, boneca, bala} e quatro pessoas {João, Maria, Marcos, Pedro}.

Suponha que João tem a bola, Maria tem a boneca, e Pedro tem o carro. Ninguém tem a bala e Marcos não tem nada.

Então a relação binária R "pertence a" é dada como R = ({bola, carro, boneca, bala}, {João, Maria, Marcos, Pedro}, {(bola, João), (boneca, Maria), (carro, Pedro)}).

Tipos de relações binárias

Dada uma relação R ⊆ A×B, podemos classificá-la como:

• Relação total

Ou seja, todo elemento de A se relaciona com algum de B.

• Relação sobrejetora

É o inverso da total, todo elemento de B é relacionado com algum de A.

• Relação funcional

Ou seja, um elemento de A não pode se relacionar com mais de um elemento de B.

• Relação injetora:

O contrário da funcional: um elemento de B não pode ser relacionado com dois ou mais elementos de A diferentes.
Uma relação é dita um monomorfismo se ela é total e injetora. Uma relação é dita um epimorfismo se ela é funcional e sobrejetora. Uma relação é dita um isomorfismo se ela é um monomorfismo e um epimorfismo.

Operações em relações binárias

Relações inversas

Seja R uma relação qualquer A×B. A inversa de R, denotada por R⁻¹, é a relação de B×A consiste nos pares ordenados que, quando têm sua ordem revertida, pertencem a R, isto é,

Por exemplo, a inversa da relação R = {(1, y), (1, z), (3, y)} é a seguinte: R⁻¹ = {(y, 1), (z, 1), (y, 3)}.
Claramente, (R⁻¹)⁻¹ = R. Além disso o domínio e a imagem de R⁻¹ são, respectivamente, iguais à imagem e ao domínio de R. Ademais, se R é uma relação em A, então R⁻¹ também é uma relação em A.

Composição de relações

Relacionar elementos de A com elementos de B é destacar um subconjunto de AxB. Dadas R₁ ⊆ A×B e R₂ ⊆ B×C:
A composição das relações R₁ com R₂, denotado por R₂ ⋅ R₁, é a relação
{(a,c): (∃b ∈B), com (a,b) ∈ R₁ e (b,c) ∈ R₂} ⊆ A×C
Exemplo: Sejam os conjuntos
A = {a, b, c}; B = {c, d, e} e C = {a, e}; e as relações R₁ = {(a,c), (a,e), (b,c), (c,d)} e R₂ = {(c,a), (d,a), (d,e), (e,e)}.
Então R₂ ⋅ R₁ = {(a,a), (a,e), (b,a), (c,a). (c,e)}.

Composição de Relações e Matrizes

Existe uma outra maneira de determinar R ⋅ S. Sejam M_r e M_s, respectivamente, as matrizes da relação R e S. Então,

        

Multiplicando-se M_r e M_s, obtemos a matriz

Os elementos não nulos dessa matriz nos mostram quais elementos estão relacionados por R×S. Portanto, M = M_r M_s e M_r⋅s têm os mesmos elementos não nulos.
Teorema: Sejam A, B, C e D conjuntos. Suponha que R é uma relação A×B, S é uma relação de B×C e T é uma relação de C×D. Então, (R ⋅ S) ⋅ T = R ⋅ (S ⋅ T). Ou seja, a composição de relações é associativa.
Prova: Para demonstrar o teorema é necessário mostrar que cada par ordenado em (R ⋅ S) ⋅ T pertence a R ⋅ (S ⋅ T) e vice-versa. Então:

Suponha que (a,d) pertence a (R ⋅ S) ⋅ T. 
Então, existe um c em C tal que (a,c) ∈ (R ⋅ S) e (c,d) ∈ T. 
Como (a,c) ∈ (R ⋅ S), existe b em B tal que (a,b) ∈ R e (b,c) ∈ S. 
Como (b,c) ∈ S e (c,d) ∈ T, temos (b,d) ∈ (S ⋅ T); 
como (a,b) ∈ R e (b,d) e S ⋅ T, temos (a,b) ∈ R ⋅ (S ⋅ T). 
Portanto, (R ⋅ S) ⋅ T ⊆ R ⋅ (S ⋅ T). 
De modo similar, R ⋅ (S ⋅ T)⊆ (R ⋅ S) ⋅ T. 
Ambas as inclusões provam que (R ⋅ S) ⋅ T = R ⋅ (S ⋅ T).

Descendo a escada em plena segunda-feira

Eu descendo a escada em plena segunda-feira!

Um troll

Trollagem...não tem hora nem lugar!!!
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Dobrando a Roupa~

Dobrando a roupa
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Expectativa:https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgKB9uCQ2E4NhYYrQcvmvYiT9ZYdXk8_kiZ3NGpFJqmMUFN0Yc7w4d-Vyzr9foozo_o1AASr2cQ61iwKIu9YnXay14t3xggybaFp8KB2PLr4oHFgT-vyFVkAeyqtznoOMpZnHCRjECn2wM0/s1600/dobrar-camisa-ahbrancao.gif
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(Qu4tronotas.blogspot.com)

Lana del rey - Dynamite

French vanilla ice cream, just the way i like
Dripping on your windscreen, i can’t get a bite
Guess we could be more than friends, ‘cause this kiss won’t end
And you got me trembling
You’re dynamite, i’m ready to blow
Take me out tonight
You’re dynamite, i’m ready to go
Touch me to ignite
Boy, you're one thing, rocking on my heartstrings
I can see the stars collide
Baby, hold me tight
Oh, you’re dynamite
Speeding through the wasteland, sparkling in the lights
Roll up the boardwalk, derelict delight
Eyes are on my dress again
I know how this ends
Boy, you’re all adrenaline
You’re dynamite, i’m ready to blow
Take me out tonight
You’re dynamite, i’m ready to go
Touch me to ignite
Boy, you're one thing, rocking on my heartstrings
I can see the stars collide
Baby, hold me tight
Oh, you’re dynamite
He’s not like other guys, i can’t apologize
For what my body wants and what my heart decides
‘cause i’m so close to the real thing
Yeah, i’m so close to the real thing
I’m so close to the real thing i could almost die
Say it isn’t over, say it’s not goodnight
Maybe we could go somewhere and start a pillow fight
You’re dynamite, i’m ready to blow
Take me out tonight
You’re dynamite, i’m ready to go
Touch me to ignite
Boy, you're one thing, rocking on my heartstrings
I can see the stars collide
Baby, hold me tight
Oh, you’re dynamite

Blue jeans - lana del rey. Tradução

Jeans azul, camisa branca

Quando você entrou na sala

Sabe que fez meus olhos queimarem

Era como James Deans, sem dúvidas

Você não liga para a morte

E é doentio como câncer

Você era meio punk rock

Eu cresci no hip hop

Mas você combina mais comigo do que minha camisa favorita

E eu sei que o amor é malvado, e o amor machuca

Mas eu ainda me lembro daquele dia

Em que nos conhecemos em dezembro, oh, querido

Eu vou te amar até o fim dos tempos

Eu esperaria um milhão de anos

Prometa que se lembrará de que você é meu

Querido, consegue ver através das lágrimas?

Eu amo você mais do que aquelas vadias de antes

Diga que você se lembrará

Oh, querido, diga que você se lembrará

Eu amarei você até o fim dos tempos

Grandes sonhos, gângster

Você disse que tinha que partir para recomeçar a sua vida

Eu estava tipo "não, por favor, fique aqui"

Nós não precisamos de dinheiro

Podemos fazer tudo isso funcionar

Mas ele saiu no domingo

Disse que chegaria em casa na segunda-feira

Fiquei à espera, antecipando e caminhando

Mas ele estava correndo atrás de grana

"Foi pego no jogo"

Foi a última coisa que eu ouvi

Eu vou te amar até o fim dos tempos

Eu esperaria um milhão de anos

Prometa que se lembrará de que você é meu

Querido, você consegue ver através das lágrimas?

Eu amo você mais do que aquelas vadias de antes

Diga que você se lembrará

Oh, querido, diga que você se lembrará

Eu amarei você até o fim dos tempos

Ele saia todas as noites

E, querido, tudo bem

Eu disse que não importa o que você fizesse

Eu estaria ao seu lado

Porque eu sou para o que der e vier

Não importa se você cair ou voar

Dane-se, pelo menos você tentou

Mas quando você saiu por aquela porta

Um pedaço de mim morreu

Eu disse que queria mais

Mas não era isso que eu tinha em mente

Eu só quero que seja como antes

Nós dançando a noite toda

Então, eles levaram você embora

Roubaram você da minha vida

Você só precisa se lembrar

Eu vou te amar até o fim dos tempos

Eu esperaria um milhão de anos

Prometa que se lembrará de que você é meu

Querido, você consegue ver através das lágrimas?

Eu amo você mais do que aquelas vadias de antes

Diga que você se lembrará

Oh, querido, diga que você se lembrará

Eu amarei você até o fim dos tempos